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春秋时期的九九乘法表和整数四则运算
来源:《中国数学的兴起与先秦数学》 | 2010-12-26
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    春秋时用算筹记数,并已有了沿用于后世的制度,这是当时大量复杂数字计算的反映。在整数的四则运算中,用算筹做加减法十分简捷,只要掌握满十进一位就行。比较难一点的是乘除法。要进行任意整数的乘除法,就必须先有一套乘法表。中国古代把乘法表叫做“九九”,它从“九九八十一”开始,所以这个乘法表以“九九”得名。


    “九九”的产生年代,《管子·轻重戊》云“管子对曰:虙戏作,造六峜,以迎阴阳,作九九之数,以合天道,而天下化之”。刘徽也说“昔在庖牺氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之术,以合六爻之变”。 虙戏、庖牺即伏羲,这是把“九九”推到距今约七千年的史前时代。“九九”应较复杂的计算之需要而产生,说“九九”产生于伏羲时代,自然是不可信的。由于“九九”是中国占代数学的基本知识,进而成为数学的代名词,先秦时代的学者把很多发明发现追溯到远古的蛮荒时代,伏羲作“九九”的传说,可以理解为先秦学者对远古时代所取得的点滴进步的敬仰和怀念。


    钱宝琮先生说“‘数’作为六艺之一,开始形成一个学科。,用算筹来记数和四则运算很可能在西周已经开始了”。这一推测是对的,只是证据还不够。严敦杰先生在郭沫若主编的《中国史稿》中说《周礼》的“六书”和“九数”是六十甲子和九九乘法表,也没有给予太多的证据,只是从《左传》载公元前548年楚令尹子木命司马蒍掩整治军赋,和公元前510年士弥牟营城周城.要用到十分丰富的数学知识,暗示西周已知九九表。殴燕等倾向于认为西周有九九,提出的证据是《礼记·王制》和《大戴礼记·王言》要用乘法和比例,以及《周礼》中多处反映朝廷对度量衡设有逐级管理人员,制定检查制度。这一结论正确。但三《礼》所载也可以看成是后世对理想社会的描述。


    特别是《礼记》和《大戴礼记》,几乎没有人认为出于西周。笔者认为《周髀算经》的材料值得多加重视。《周髀算经》先是商高答周公问,然后是陈子答容方问,陈子提出了普遍的勾股定理.并用于复杂的天文计算。在陈子答荣方问以下部分的文献,也存在不同的层次。可见,这些内容带有明显的知识层次和时间层次的痕迹。最晚的层次可以定在西汉前期,陈子定在春秋中晚期,那么商高可以定在西周初年,这既与该书的内容的自述相符,也与赵爽注相合。《周髀算经》卷上商高答周公问说“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一”。据赵爽注,周公姓姬名旦,武王之弟。则此周公为西周初大政治家,非后来一直世袭于周的周公后人。


    有了“九九”和算筹工具,任意整数的乘除运算就迎刃而解了。下面参照《孙子算经》和《夏侯阳算经》的叙述举例说明用算筹做乘除法的方法。


    两数相乘时,先用算筹布置一数于上,一数于下,古代不称为被乘数和乘数。将下数向左边移动,使其末一位和上数的首位相齐。以上数首位数字乘下数各位数,从左边至右边乘,上、下两数的中间用算筹布置乘得的结果,并且将后得的乘积依次并人前已算得的积数。求得了这一部分乘积之后,将上数的首位去掉,下数向右边移动一位。再以上数的第二位数目乘下数各位,并入中间已得到的积数。这样继续下去,直到上数各位一一去掉,中间所得就是二数相乘之积。


    《周易·系辞》有一个四则运算的例子:“天一,地二,天三,地四,天五,地六,天七,地八,天九,地十。天数五,地数五,五位相得而各有合。天数二十有五,地数三十,凡天地之数,五十有五。此所以成变化而行鬼神也。大衍之数五十,其用四十有九。分而为二以象两,挂一以象三,揲之以四以象四时,归奇于扐以象闰,五岁再闰,故再扐而后挂。是故四营而成易,十有八变而成卦。八卦而小成。引而伸之,触类而长之,天下之能事毕矣。显道神德行。是故可与酬酢,可与佑神矣。乾之策,二百一十有六。坤之策,百四十有四。凡三百有六十,当期之日。二篇之策,万有一千五百二十,当万物之数也”。此段文字包含以下运算:


    天数总和为 1+3+5+7+9=25


    地数总和为  2+4+6+8+10=30


    天地之数为  25+30=55


把49根蓍草信手分为两部分,从这两部分中取一部分拿去l根,将这时的两部分,各自4根4根地取走,最后都余下不超过4根.其时所余的蓍草数有四组结果:(4,4),(1,3),(2,2),(3,1),这实际上是(48 -m)÷4和m ÷4的余数。


    3变得1爻,1卦6爻,1卦的变数为3×6=18。


    阳爻用九由“揲四”而成,故用策9×4=36;阴爻用六亦由“揲四”而成,故用策6×4=24。


    乾之策为36×6=216,


    坤之策为24×6=144;


    乾坤之策为:216+144=360。


    易六十四卦,阳爻、阴爻之数各192,二篇之策为:


    192×36+192×24=6912+4608=11520。


    “系辞”所记的操作法,当远在“系辞”撰写的年代以前,最先可能是用多次相减的方法确定余数的,到了“系辞”时代就可以直接用乘法来计算抽出的蓍草数得到余下的蓍草数了。(邹大海)
 
 

 

责任编辑:刘永锋

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